Estudo das matrizes
27 de junho de 2008 às 03:10 | Publicado em Matemática | 10 Comentários
MATRIZES
O que é uma matriz?
matrizes são como tabelas em que tem linhas e colunas, a coordenada de uma matriz é definida por linha e coluna.
Elementos básicos para a construção de matrizes
Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:
N={1,2,3,4,5,6,7,…}
O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares
ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:
N×N={(a,b): a e b são números naturais }
Uma relação importante em N×N é:
Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}
Definição de matriz
Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real (ou complexo).
Uma forma comum e prática para representar
uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n
números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a
letra A.
a(1,1) | a(1,2) | … | a(1,n) |
---|---|---|---|
a(2,1) | a(2,2) | … | a(2,n) |
… | … | … | … |
a(m,1) | a(m,2) | … | a(m,n) |
Definições básicas sobre matrizes
- Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.
- Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).
- Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].
- Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.
- Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.
- A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:
a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), …, a(n-1,2), a(n,1)
- Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.
- Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.
- Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.
- Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.
- Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal.
- Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.
Exemplos de matrizes
Matriz 4×4 de números reais:
12 | -6 | 7 | 18 |
---|---|---|---|
-23 | -24 | 0 | 0 |
0 | 0 | 5 | 0 |
0 | 0 | 0 | 9 |
Matriz 4×4 de números complexos:
12 | -6+i | 7 | i |
---|---|---|---|
-i | -24 | 0 | 0 |
0 | 0 | 5+i | 5-i |
0 | 0 | 0 | 9 |
Matriz nula com duas linhas e duas colunas:
0 | 0 |
---|---|
0 | 0 |
Matriz nula com três linhas e duas colunas:
0 | 0 |
---|---|
0 | 0 |
0 | 0 |
Matriz identidade com três linhas e três colunas:
1 | 0 | 0 |
---|---|---|
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:
23 | 0 | 0 | 0 |
---|---|---|---|
0 | -56 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 0 | 100 |
Matrizes iguais
Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de
mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos
são iguais, isto é:
a(i,j) = b(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:
|
= |
|
---|
Soma de matrizes e suas propriedades
A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:
c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)
para todo par ordenado (i,j) em Smn.
Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.
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